1) Alguns  alunos  de  uma  determinada  escola  praticam  uma  ou  mais  de  3  modalidades desportivas,nomeadamente,  futebol,  basquetebol  e  andebol. São  conhecidas  as  seguintes  proporções:
• 30% praticam futebol;
• 20% praticam basquetebol;
• 20% praticam andebol;
• 5% praticam futebol e basquetebol;
• 10% praticam futebol e andebol;
• 5% praticam basquetebol e andebol;
• 2% praticam todas estas modalidades.

a) se escolhermos um aluno ao acaso, qual a probabilidade de ser:
i. um jogador de futebol ou de andebol?

P(fut)+P(and)-P(fut e and)= 30 + 20 – 10 = 40

ii. apenas jogador de futebol?

P(fut)+P(fut e bas)-P(fut e and)+P(fut e and e bas)= 30 – 10 – 5 + 2 = 17
iii. um atleta?

P(fut)+P(and)-P(fut e and)+P(só basq)=40+12=52

b) Se escolhermos um aluno atleta, qual a probabilidade de ser:
i. apenas jogador de futebol?

[math]P(apenas jogador futebol|ser atleta)=17/52[/math] ii. um jogador de futebol ou de andebol?

[math]P(jogador futebol ou andebol|ser atleta)=40/52[/math]

2)  Num determinado aquário encontram-se 4 peixes dourados e 6 vermelhos para venda. O Sr. Zé vai  comprar  2  desses  peixes,  não  tendo  preferência  pela  cor.  Assim,  selecciona-se aleatoriamente um conjunto de 2 peixes.

a)  Qual a distribuição da v.a. X que representa o número de peixes dourados que calham a este cliente?

Peixes
0 2 vermelhos [math]6/10*5/9=30/90=1/3[/math]
1 vermelho-dourado ou dourado-vermelho [math]6/10*4/9+4/10*6/9=30/90+24/90=1/3+4/15[/math]
2 dourado-dourado [math]4/10*3/9=12/90=2/15[/math]

b)   Chegado  a  casa,  os  2  filhos  do  Sr.  Zé  começam  a  discutir  quem  escolhe  primeiro  o  seu peixinho,  antes  mesmo  de  os  verem.  Decidem  pois  que,  se  pelo  menos  1  dos  peixes  for dourado, o filho mais velho pode escolher primeiro. Caso contrário, escolhe primeiro o filho mais novo. Represente Y a v.a. que indica se foi o filho mais velho a escolher (Y = 1) ou não (Y = 0). Determine a função de probabilidade de Y . Identifique esta distribuição.

É uma distribuição discreta e dictómica que só toma 2 valores e está directamente dependente do valor anterior.
c)  As v.a.’s X e Y são independentes? Justifique adequadamente.

Não são independentes dados que o valor de Y depende do valor de X.

3)  Um  foguete  espacial  é  constituído  por  3  partes  distintas,  cápsula,  corpo  e  depósitos. Representem as v.a.’s X, Y e W como sendo o peso da cápsula, o peso do corpo do foguete e o peso dos depósitos,  respectivamente,  em  toneladas.  Sabe-se que X~N(5;1), Y~N(10;2) e X~N(7,2) , e sendo as três variáveis independentes entre si.
a)  Qual a probabilidade de o peso da cápsula estar compreendido entre 1,5 vezes e 3 vezes o peso do corpo?

O valor esperado da soma de 3 variáveis corresponde à soma dos valores esperados de cada variável.

E[A+B+C]= E[A]+E[B]+E[C]= 5+10+7=22

Da mesma forma a variância da soma é igual à soma das variâncias.

VAR[A+B+C]= VAR[A]+VAR[B]+VAR[C]=1*1+2*2+2*2=9

10*1,5 = 15

10*3=30

E possível aproximar a nossa nova distribuição N(22,3) ~N(0,1) através das transformações.

[math]z=\frac{x-\overline{x}}{\sigma}=\frac{15-22}{3}=-2,3333[/math] [math]z=\frac{x-\overline{x}}{\sigma}=\frac{30-22}{3}=2,66667[/math] [math]\Phi(z)=Probabilidade de Z estar entre -\infty[/math] [math]P(22<X+Y+Z<30)=\Phi(2,6667)-\Phi(-2,3333)= 0,986[/math]

O gráfico foi criado em R usando os comandos:

mean=22; sd=3; lb=15; ub=30;

x <- seq(-4,4,length=100)*sd + mean
hx <- dnorm(x,mean,sd)

plot(x, hx, type=”n”, xlab=”Peso”, ylab=”Densidade”,  main=”Distribuição Normal”, axes=FALSE)

i <- x >= lb & x <= ub
lines(x, hx)
polygon(c(lb,x[i],ub), c(0,hx[i],0), col=”red”)

area <- pnorm(ub, mean, sd) – pnorm(lb, mean, sd)
result <- paste(“P(“,lb,”< IQ <“,ub,”) =”,   signif(area, digits=3))
mtext(result,2)

b) Qual o peso h que o corpo do foguete ultrapassa em 92.5% das vezes?

Aqui aplica-se o raciocínio inverso. Parte-se do valor da probabilidade para determinar o valor do Z e depois do x.

[math]\Phi(z)=0,925 => Z = 1,439531[/math]

Como é o valor que e ultrapassado em 92,5% dos vezes iremos determinar o valor acima do qual tal se verifica.

[math]z=\frac{x-\overline{x}}{\sigma}=\frac{x-10}{\sqrt{2}}= 1,439531[/math]

Como a distribuição normal é simétrica podemos fazer esta operação.

[math]x=10-1,439531×2=7,12[/math]

c) Qual a probabilidade de o peso da cápsula mais o peso dos depósitos excederem o peso do corpo do foguete?

N(2; 5)= N(5+7-10;5)

Fazendo a soma das distribuiçoes temos que em média o peso será superior em 2 kilos. pelo que se quer determinar quando o peso é maior que zero.

[math]z=\frac{x-\overline{x}}{\sigma}=\frac{0-2}{5}=-0,4[/math] [math]\Phi(z)=0,344578[/math]

Probabilidade = 0,633

4)  O  tempo  de  espera  (em  minutos)  por  um  autocarro  é  uma  v.a. T  com  a  seguinte  função densidade de densidade de probabilidade:

Função densidade Intervalo de tempo
1/2 0<t<1
1/4 1<t<3
0 0

a) Determine a função de distribuição da v.a. T (Sugestão: esboce primeiro o gráfico de f(t)).

x/2   0<t<1

1/2+(x-1)/4   1<t<3

b) Determine o tempo médio e o tempo mediano de espera pelo autocarro.

tempo médio = 1/2 * 0,5 + 2 * 0,5 = 1,25

mediano = 1
c) Qual é a probabilidade de esperar menos de 1 minuto pelo autocarro, sabendo que já estou à espera há 0.5 minuto?

P(a|b) = P(a) / P(b)

P(menos de 1)=0.5

P(menos de 0,5)= 0,25

P(b)=1-0,25=0,75

0,25/0,75= 1/3=0,33
d) Durante o ano tenho de apanhar este autocarro 100 vezes. Qual é o número médio de vezes, nesse ano, em que espero menos de meio minuto?

np = 100 * 0,25 = 25

http://bioinforx.com/free/bxarrays/venndiagram.php

Usando um modelo de regressão linear da satiçao com as 7 variáveis tem-se

lm(formula = csatisf ~ flexib + imagfor + imagvend + preco +
prodqual + rapid + relacao, data = Dataset)

Residuals:
Min       1Q   Median       3Q      Max
-0.93928 -0.16103  0.05892  0.23233  0.71929

Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.56711    0.44521  -1.274   0.2059
flexib       0.28995    0.03679   7.882 6.34e-12 ***
imagfor      0.42850    0.05965   7.183 1.73e-10 ***
imagvend    -0.19619    0.08473  -2.315   0.0228 *
preco        0.17611    0.18698   0.942   0.3487
prodqual    -0.04598    0.03180  -1.446   0.1516
rapid        0.24000    0.18005   1.333   0.1858
relacao      0.13164    0.35051   0.376   0.7081

Isto aponta que apenas 3 factores estão fortemente relacionados com o nível de satisfação dos cliente

a flexibilidadem a imagem da formação e das vendas.